TRANSFORMASI

Sifat - sifat dari masing" bab pada transformasi  • TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
 Sifat
• Dua buah translasi berturut-turut (a) diteruskan dengan (b) dapat digantikan dengan (c) translasi tunggal (a + c) (d) (b + d) • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

   • REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

SIFAT-SIFAT Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
 a.   Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
 b.    Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: o Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. o Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
c.   Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan     rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
d.    Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan   menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: o Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. o Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. o Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

  • ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
 SIFAT-SIFAT Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
 a. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
b. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
 • DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)
 Ket.: (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 -> A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 -> A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 -> A' terletak pada perpanjangan AO
 Sifat :
 • berdasarkan atas faktor skala yang disimbolkan dengan "k" • apabila k : -1 < k< 0 maka garis tersebut di perkecil dengan arah berlawanan • apabila k : k < -1 maka garis tersebut diperbesar dengan arah berlawanan • apabila k bernilai + maka garis tersebut diperbesar searah •

BILANGAN

Bilangan asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
10 angka pertamanya adalah  (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)


Bilangan cacah
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif
10 angka pertamanya adalah (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
   
Bilangan ganjil
Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi dengan 2 atau sisa hasil baginya adalah 1.
 10 angka pertama bilangan ganjil  (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)

Bilangan genap
Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2 atau sisa dari pembagiannya adalah 0.
10 angka pertama bilngan genap (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20).

Bilangan prima
Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2.
10  bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes

Bilangan komposit
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih.

10 bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Bilangan persegi
bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ….
Mengapa disebut pola bilangan persegi? Perhatikan pola bilangan pada gambar berikut.

Pola bilangan tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut:

Ternyata banyaknya titik yang membentuk barisan persegi tersebut sama dengan cara mencari luas sebuah persegi, yaitu sisi x sisi. Maka untuk bilangan kesembilan dari pola tersebut adalah  81, didapat dari 9 x 9 = 81.
Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan persegi adalah
                                          rumus bilangan persegi adalah N x N = N2


10 angka pertama pada bilangan persegi (1,4,9,16,25,36,49,64,64,100)
 
Bilangan segitiga
 
Bilangan segitiga ini berasal dari titik-titik yang membentuk segitiga. Untuk satu titik dalam satu sisinya hanya perlu satu titik untuk membentuk suatu segitiga. Untuk 2 titik per sisinya, jumlah total titik yang diperlukan adalah 3 titik. Untuk 3 titik tiap sisi, total titik yang dibutuhkan adalah 6. Dalam tabel sebagai berikut
Titik pada sisi    1    2    3    4    5    6    7    …    n
Total pada segitiga    1    3    6    10    15    21    28    …    ?

Bilangan atau barisan segitiga bisa kita tuliskan


Beda dari barisan ini adalah meningkat dimulai dari  dst

Untuk mencari suku ke-n. Kita akan menjabarkannya











Suku ke-n adalah jumlah barisan aritmetika untuk n suku dengan beda 1.